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已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.
(Ⅰ)求a,b;
(Ⅱ)设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点,且,证明:成等比数列.
(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
(Ⅰ)由题设知,即,故.
所以C的方程为.
将y=2代入上式,求得.
由题设知,,解得.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,C的方程为.  ①
由题意可设的方程为,代入①并化简得
.
,则
.
于是


,即.
,解得,从而.
由于
.

.
因而,所以成等比数列.
(1)利用待定系数法求解,利用已知条件建立含义的等量关系,进而确定曲线方程;(2)利用直线与曲线联立方程组,借助韦达定理和弦长公式将表示出来,然后借助证明等比中项。
【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系,考查舍而不求的思想以及计算能力.
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