Question

11．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n=$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{3{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，得n≥2时，2S_n-1=na_n-1，两式相减得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，n≥2，由此利用累乘法和能求出a_n=n．
（Ⅱ）由$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂项求能求出T_n=$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{3{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，①
∴n≥2时，2S_n-1=na_n-1，②
①-②，得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，n≥2，
整理，得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$，n≥2，
∴${a}_{n}={a}_{1}×\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}×\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}×…×\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1×$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n}{n-1}$=n，
n=1时，上式成立，
∴a_n=n．
（Ⅱ）∵$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{2{a}_{1}}$+$\frac{1}{3{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$
=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累乘法和裂项求和法的合理运用．