Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$sinx，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（cosx+sinx）），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx-cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，再将各点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到函数g（x）的图象．写出g（x）的解析式并在给定的坐标系中画出它在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

分析 （I）根据向量的数量积公式得到f（x）并化简得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ即可求出f（x）的增区间；
（II）根据函数图象平移规律得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），然后使用描点法作出函数图象．

解答 解：（I）f（x）=a•b=$\sqrt{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cos²x-sin²x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2x-cos2x）
=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（sin2x-cos2x）
=sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，解得-$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴y=f（x）的单调递增区间是[-$\frac{π}{8}$+kπ，$\frac{3π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（Ⅱ） f（x）=sin（2x-$\frac{π}{4}$），∴g（x）=2sin（2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
列表得

x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
2x$+\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
g（x）	$\sqrt{2}$	2	0	-2	0	$\sqrt{2}$

经过描点、连线得

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，图象变换和性质，以及描点作图，将f（x）进行恒等变换化成复合三角函数是关键．