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    抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p＞0).一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x-4y-17=0上的点N，再折射后又射回点M(如图所示).

    （1）设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明y1·y2=-p2；

    （2）求抛物线的方程；

    （3）试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.

    思路分析：本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目.

    证明:由抛物线的光学性质及题意，知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(),                          ①

    由①式,得x=.

    将其代入抛物线方程y2=2px中，整理得y2--p2=0.由韦达定理，y1y2=-p2.

    当直线PQ的斜率角为90°时，将x=代入抛物线方程，得y=±p,同样得到y1·y2=-p2.

    (2)解：因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称.设点M(，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，

    则解得

    直线QN的方程为y=-1,Q点的纵坐标y2=-1.

    由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知：y1·y2=-p2,则4·(-1)=-p2,得p=2.

    故所求抛物线方程为y2=4x.

    (3)解：将y=4代入y2=4x,得x=4.故P点坐标为(4，4).将y=-1代入直线l的方程为2x-4y-17=0.得x=.故N点坐标为(，-1).由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y-12=0.

    设M点关于直线NP的对称点为M1(x1,y1)，

    则

    解得

    又M1(,-1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，

    故抛物线上存在一点(，-1)与点M关于直线PN对称.

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    （1）求抛物线C的方程；
    （2）求PQ的长度；
    （3）判断四边形MPQN是否为平行四边形，若是请给出证明，若不是请说明理由．

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    A. B. C. D.

     

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    （1）求抛物线C的方程；
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