Question

13．等差数列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₁₅+a₂₀₁₆＞0，a₂₀₁₅a₂₀₁₆＜0，则使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4031

Answer 1

分析 等差数列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₁₅+a₂₀₁₆＞0，a₂₀₁₅a₂₀₁₆＜0，可得等差数列{a_n}是单调递减数列，d＜0，因此a₂₀₁₅＞0，a₂₀₁₆＜0，利用求和公式可得：S₄₀₃₀＞0，S₄₀₃₁＜0，即可得出结论．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₁₅+a₂₀₁₆＞0，a₂₀₁₅a₂₀₁₆＜0，
∴等差数列{a_n}是单调递减数列，d＜0，因此a₂₀₁₅＞0，a₂₀₁₆＜0，
∴S₄₀₃₀=$\frac{4030（{a}_{1}+{a}_{4030}）}{2}$=$\frac{4030（{a}_{2015}+{a}_{2016}）}{2}$＞0，
S₄₀₃₁=$\frac{4031（{a}_{1}+{a}_{4031}）}{2}$=4031a₂₀₁₆＜0，
∴使前n项和S_n＞0成立的最大自然数n是4030．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．