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    （2012•黄山模拟）已知向量
    a
    =(1，cos
    x
    2
    ）与
    b
    =（
    		3
    sin
    x
    2
    +cos
    x
    2
    ，y）共线，且有函数y=f（x）．
    （Ⅰ）若f（x）=1，求cos(
    2π
    3
    -2x)    的值；
    （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f（B）的取值范围．
    分析：（Ⅰ）由
    a
    与
    b
    共线，可得
    1
    		3
    sin
    x
    2
    +cos
    x
    2
    =
    cos
    x
    2
    y
    ，求出函数f（x）的解析式，根据f（x）=1，求得即sin(x+
    π
    6
    )=
    1
    2
    ，利用二倍角公式求得cos(
    2π
    3
    -2x)     的值．
    （Ⅱ）根据条件由正弦定理得：
    2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)
    ，求出角A的值，根据
    f(B)=sin(B+
    π
    6
    )+
    1
    2
    ，且0＜B＜
    2π
    3
    ，求得函数f（B）的取值范围．
    解答：解：（Ⅰ）∵
    a
    与
    b
    共线，∴
    1
    		3
    sin
    x
    2
    +cos
    x
    2
    =
    cos
    x
    2
    y
    ，y=
    		3
    sin
    x
    2
    cos
    x
    2
    +cos2
    x
    2
    =
    		3
    2
    sinx+
    1
    2
    (1+cosx)=sin(x+
    π
    6
    )+
    1
    2
    ，∴f(x)=sin(x+
    π
    6
    )+
    1
    2
    =1    ，
    即sin(x+
    π
    6
    )=
    1
    2
    ，∴cos(
    2π
    3
    -2x)=cos2(
    π
    3
    -x)=2cos2(
    π
    3
    -x)-1=2sin2(x+
    π
    6
    )-1=-
    1
    2
    ．
    （Ⅱ）已知2acosC+c=2b，
    由正弦定理得：
    2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)
    ，
    2sinAcosC+sinC=2sinAcosC+2cosAsinC
    ，∴cosA=
    1
    2
    ，∴在△ABC中∠A=
    π
    3
    ，f(B)=sin(B+
    π
    6
    )+
    1
    2
    ．∵∠A=
    π
    3
    ，∴0＜B＜
    2π
    3
    ，
    π
    6
    ＜B+
    π
    6
    ＜
    5π
    6
    ，
    ∴
    1
    2
    ＜sin(B+
    π
    6
    )≤1    ，1＜f(B)≤
    3
    2
    ，∴函数f（B）的取值范围为(1， 
    3
    2
    ]    ．
    点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，正弦定理，根据三角函数的值求角，求出函数f（x）的解析式，是解题的关键．
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    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    =f′(
    x1+x2
    2
    )    恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
    ①f（x）=2x+3；
    ②f（x）=x2-2x+3；
    ③f（x）=
    1
    x
    ；
    ④f（x）=ex；
    ⑤f（x）=lnx．
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    ①②
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    b1
    a1
    +
    b2
    2a2
    +…+
    bn
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    2π
    3
    )+sin(α+
    4π
    3
    )=0    ，由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为
    sinα+sin(α+
    π
    2
    )+sin(α+π)+sin(α+
    3π
    2
    )=0
    sinα+sin(α+
    π
    2
    )+sin(α+π)+sin(α+
    3π
    2
    )=0
    ．

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