Question

已知实数；x，y满足且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为[0，2]，则z的最大值侑的取值范围是________．

Answer 1

[，5]
分析：由目标函数z=x+2y的最小值的取值范围为[0，2]，我们可以画出满足条件 的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值，然后求出此目标函数的最大值的取值范围即可．
解答：解：画出x，y满足的可行域如下图：
①令z=0，可得直线x+2y=0与直线y=1的交点B，使目标函数x+2y取得最小值，
由 ，得B（-2，1）
代入y=2x+m得m=5，
由 ，得N（-1，3）
可得直线z=x+2y过点N时，使目标函数x+2y取得最大值，最大值为：5．
②令z=2，可得直线x+2y=2与直线y=1的交点A，使目标函数x+2y取得最小值，
由 ，得A（0，1）
代入y=2x+m得m=1，
由 ，得M（，）
可得直线z=x+2y过点M时，使目标函数x+2y取得最大值，最大值为：．
则z的最大值的取值范围是[，5]．
故答案为：[，5]．
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．