Question

已知向量，向量与向量夹角为，且．
（1）若向量与向量=（1，0）的夹角为，向量，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求|+|的取值范围．
（2）若A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，设f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²，f（A）的最大值为，关于x的方程在上有相异实根，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令=（x，y），则有cos==-
由得，又向量，故其模为，
则向量人模为1．则有x²+y²=1
（1）向量与向量=（1，0）的夹角为，故有•=0，即x=0，故y=±1
又故y=-1，则=（0，-1），
向量，即
又A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列 故B=
|+|²=cos²A+cos²C=cos²A+cos²（-A）=1+cos（2A+）
由A∈（0，），得2A+∈（，）得cos（2A+）∈[-1，）
|+|²∈[，）故|+|∈[，）
（2∵A、B、C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，A≤B≤C，∴B=
∴f（A）=sin2A-2（sinA+cosA）+a²=2sinAcosA-2（sinA+cosA）+a²
令t=sinA+cosA=sin（A+），则2sinAcosA=t²-1
由于A∈（0，]，A+∈（，]，故t=sin（A+）∈（1，]
故有f（A）=t²-1-2t+a²=t²-2t+a²-1，t∈（1，]
当t=时取到最大值为1-2+a²
又f（A）的最大值为，故1-2+a²=
故a²=4，又a＞0，故a=2
又关于的方程在上有相异实根
即方程在上有相异实根
因为x∈，故y=在（0，）上是增函数，在（，）上是减函数
方程在上有相异实根
故∈[，1），
故m∈[，2）．
分析：由题意先求出向量的坐标满足有x²+y²=1
（1）由向量与向量=（1，0）的夹角为，故有•=0，由此解出向量的坐标，代入|+|²，用相关公式求其范围，进而求出|+|∈[，）
（2）先解出B=，确定出A的范围，再对f（A）用换元法变形，求出其最值的表达式，判断并求出其最大值是1-2+a²，又已知f（A）的最大值为，令两者相等解出参数a的值，再由在上有相异实根，依据三角函数的性质求出参数m满足的范围．
点评：本题考点是三角函数的最值，综合利用二次函数的最值，向量的运算，三角函数的恒等变形，三角函数的最值，及三角函数的图象，涉及到知识广度高，综合性强，做题时要有耐心地对题目中所给的每一个条件细心、严谨转化，对每一个条件所蕴含的本质进行挖掘，逐步向结论靠近，如本题中第二小题，逐层推进比较明显，答题过程中仔细体会此思维脉络．