Question

已知函数 （a为实数）
（Ⅰ） 当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ） 若当时，都有成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=2时，令得
∴f（x）的增区间为 …（4分）
（Ⅱ）令g（x）=，设若使f（x）有意义，则a≤-1或a≥1
∵＜g（0）=，
∴a≤-1或 …（6分）
1°当a≤-1时，，
若a=-1，则f'（x）≤0恒成立，，而g（x）＞0，故f（x）＜g（x）成立
若a＜-1，令，，f'（x）＜0，f（x）递减；
，f'（x）＞0，f（x）递增，
又，f（x）＜0，而g（x）＞0，
故f（x）＜g（x）成立 …（8分）
2°时，令F（x）=f（x）-g（x），则
若a≥2，则F'（x）＞0，而，
∴f（x）＜0＜g（x），此时成立 …（10分）
若，设sinx=t，t∈（-1，1），令，则，
由知，即，
∴，
又，
∴，G（t）＞0，，G（t）＜0
∴F（x）先增后减，而，必存在x₀使F（x₀）＞0，不成立
综上，a∈（-∞，-1]∪[2，+∞） …（12分）
分析：（Ⅰ）当a=2时，求导函数，令其大于0，即可得到函数的单调递增区间；
（Ⅱ）先确定a≤-1或，再分类讨论，确定函数的单调性，确定函数值的正负，即可得到结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确分类是关键．