Question

郑（本题满分14分）已知定点A(0，)(>0)，直线 ：交轴于点B，记过点A且与直线l₁相切的圆的圆心为点C．
(I)求动点C的轨迹E的方程；
(Ⅱ)设倾斜角为的直线过点A，交轨迹E于两点 P、Q，交直线于点R．

(1)若tan=1，且ΔPQB的面积为，求的值；
(2)若∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l₁，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，
∴轨迹E的方程为x²=4ay …………………(4分)
(Ⅱ)直线l₂的方程为y=kx+a，与抛物线方程联立消去y得                   
x²-4akx-4a²=0．
记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，
则x₁+x₂=4ak，x₁x₂a²<0.     …………(6分)
(1)若tanα=1,即k=1,此时x₁+x₂=4a, x₁x₂=-4a².
∴S_ΔBPQ=S_ΔABP+S_ΔABQ=a|x₁|+a|x₂|=a|x₂-x₁|
=a=a=a=4a² . …………(8分)
∴4a²=，注意到a>0,∴a =               ………………………………(9分)
(2) 因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为(,-a).            ……(10分)
|PR|·|QR|=·＝（x₁+，y₁+a）·（x₂+，y₂+a）
=（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2 a）（kx₂+ 2a）
=(1+k²) x₁ x₂+(+2 ak)( x₁+x₂)+ +4a²
= -4a²(1+k²)+4ak(+2ak)++4a²  =4a²(k²+)+8a²≥8a²+8a²=16a²
又α∈[,],∴k∈[,1],
当且仅当k²=, 即k=1时取到等号．                 ……………………(12分)
从而|PR|·|QR|的最小值为16a².                       ……………………(14分)

解析