Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=

3

，P为矩形内一点，且AP=

3

2

．若

AP

=λ

AB

+μ

AD

（λ，μ∈R），则λ+

3

μ的最大值为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  6

  2

• C、

  3+ 3

  4

• D、

  6 +3 2

  4

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：可根据条件画出图形，根据图形设∠PAE=θ，且0≤θ≤

π

2

，则

AP

又可用

AB

，

AD

表示为：

AP

=

3

2

cosθ

AB

+

1

2

sinθ

AD

．所以根据平面向量基本定理得到：

λ= 3 2 cosθ μ= 1 2 sinθ

，所以λ+

3

μ=

3

2

(cosθ+sinθ)=

6

2

sin(θ+

π

4

)，sin(θ+

π

4

)最大值为1，所以λ+

3

μ的最大值为

6

2

．

解答： 解：如图，设∠PAE=θ，0≤θ≤

π

2

，则：

AP

=

AE

+

AF

=

3

2

cosθ

AB

+

3 2 sinθ

3

AD

=

3

2

cosθ

AB

+

1

2

sinθ

AD

；
又

AP

=λ

AB

+μ

AD

；
∴

λ= 3 2 cosθ μ= 1 2 sinθ

；
∴λ+

3

μ=

3

2

(cosθ+sinθ)=

6

2

sin(θ+

π

4

)≤

6

2

；
∴λ+

3

μ的最大值为

6

2

．
故选B．

点评：考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数sinx的最大值，以及平面向量基本定理．