Question

椭圆的离心率为，右准线方程为，左、右焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（t＞0）与以F₁F₂为直径的圆相切，并与椭圆C交于A，B两点，向量在向量方向上的投影是p，且（O为坐标原点），求m与k的关系式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）情形下，当时，求△ABC面积的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用离心率条件求出a，c的关系式，再利用右准线方程得到a，c的另一个关系式结合a，b，c的关系即可求得a，b．最后写出椭圆的方程即可；
（II）先圆心到直线的距离等于半径可得t和k满足的关系式，把直线l的方程与椭圆方程联立求出A、B两点的坐标，再利用 即可求出m与k的关系式；
（III）用类似于（2）的方法求出m，k之间的关系式，求出弦AB的长，再把△AOB面积整理成关于m的函数；利用函数的单调性求出△AOB面积的取值范围即可．
解答：解：（Ⅰ）由条件知：．
得，．b=1．
∴椭圆C的方程为：．（3分）
（Ⅱ）依条件有：，即t²=2（1+k²）．（4分）
由得：（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0．△=12（k²-1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
又t²=2k²+1，∴=
由在方向上的投影是p，得（7分）∴（10分）
（Ⅲ）由弦长公式得．
由，得∴（12分）∴．
又，∴．（14分）
点评：本题是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查、函数单调性的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．