Question

已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（1）求动点P的轨迹C的方程．
（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁、l₂，设l₁与轨迹C交于A、B两点，l₂与轨迹C交于D、E两点，求|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1，可得当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，所以动点P的轨迹为抛物线；当x＜0时，y=0也满足题意；
（2）设l₁的方程为y=k（x-1）与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理可得x₁+x₂=2+，x₁x₂=1，x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1，从而可得|FA||FB|+|FD||FE|=8+4（k²+）≥16，由此即可得到结论．
解答：解：（1）∵平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1
∴当x≥0时，点P到F的距离等于点P到直线x=-1的距离，
∴动点P的轨迹为抛物线，方程为y²=4x（x≥0）
当x＜0时，y=0
∴动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≥0）或y=0（x＜0）
（2）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为0，设为k，则l₁的方程为y=k（x-1）
与抛物线方程联立，消元可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个实根，所以x₁+x₂=2+，x₁x₂=1
∵l₁⊥l₂，∴l₂的斜率为
设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），则同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1
∴|FA||FB|+|FD||FE|=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）=8+4（k²+）≥16（当且仅当k=±1时取等号）
∴|FA|•|FB|+|FC|•|FD|的最小值为16．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是确定抛物线的方程，利用韦达定理解题．