Question

（2012•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x²．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（　　）

• A．n（n∈Z）
• B．2n（n∈Z）
• C．2n或2n-

  1

  4

  （n∈Z）
• D．n或n-

  1

  4

  （n∈Z）

Answer 1

分析：首先求出直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或-

1

4

，又因为对任意的x∈R，
都有f（x+2）=f（x），所以要求的实数a的值为2n或2n-

1

4

．

解答：解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x）²=x²．
设x∈[1，2]，则（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2）²．
①当a=0时，联立

y=x y=x2

，解之得

x=0 y=0

或

x=1 y=1

，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当-2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x²在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x-2）² 在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f^′（x）=2x=1，解得x=

1

2

，
∴y=(

1

2

)2=

1

4

，故其切点为(

1

2

，

1

4

)，
∴a=

1

4

-

1

2

=-

1

4

；
由

y=x- 1 4 y=(x-2)2

（1≤x＜2）解之得

x= 5-2 2 2 y= 9-4 2 4

．
综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或-

1

4

．
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n-

1

4

，（n∈Z）．
故应选C．

点评：此题考查了函数的奇偶性、周期性及导数的应用，用到了数形结合的思想方法．