Question

S_n为等差数列{a_n}的前n项的和，已知S₁₅＞0，S₁₆＜0，记（n=1，2，…，15），若b_n最大，则n=________

Answer 1

8
分析：由等差数列的前n项和的公式分别表示出S₁₅＞0，S₁₆＜0，然后再分别利用等差数列的性质得到a₈大于0且a₉小于0，得到此数列为递减数列，前8项为正，9项及9项以后为负，由已知的不等式得到数列的前1项和，前2项的和，…，前15项的和为正，前16项的和，前17项的和，…，的和为负，所以得到b₉及以后的各项都为负，即可得到b₈为最大项，即可得到n的值．
解答：由S₁₅==15a₈＞0，得到a₈＞0；由S₁₆==8（a₈+a₉）＜0，得到a₉＜0，
∴等差数列{a_n}为递减数列．
则a₁，a₂，…，a₈为正，a₉，a₁₀，…为负；S₁，S₂，…，S₁₅为正，S₁₆，S₁₇，…为负，
则＜0，＜0，…，＜0，
又S₈＞S₁＞0，a₁＞a₈＞0，得到＞＞0，故b₈=最大．
故答案为：8
点评：此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道综合题．