Question

设函数（a≤2）
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（II）证明：…对任意n∈N*都成立．

Answer 1

（I）解：f（x）的定义域为（0，+∞），（x＞0）
令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，…（1分）
①当a=2时，对任意x∈（0，+∞），f′（x）=，故f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a≤1时，，
∵-[（1-a）x+1]＜0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴x≥1时，f′（x）≤0，0＜x＜1时，f′（x）＞0，
∴函数在[1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
③当1＜a＜2时，令f′（x）≤0可得，令f′（x）≥0可得0＜x≤1或x≥，
∴函数在（0，1]和[，+∞）上是增函数，在[1，）上是减函数；
（II）证明：（1）当n=1时，左边-右边=
不等式成立…（7分）
（2）假设n=k（k∈N^*）不等式成立，即…成立
那么，当n=k+1时，左边=…+…（8分）
下面证明：
即证…（9分）
由（Ⅰ）知当a=2时，在（0，+∞）上单调递增
则对任意k∈N^*，都有成立
即对任意k∈N^*，都有成立
因此n=k+1时成立
由（1）（2）及数学归纳法原理知
原不等式对任意n∈N^*都成立．…（12分）
分析：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数（x＞0），令g（x）=（x-1）[（a-1）x-1]，分类讨论，确定g（x）的正负，即可得到导函数的正负，从而可得函数的单调性；
（II）利用数学归纳法证明，当n=k+1时，利用分析法进行证明．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查不等式的证明，考查数学归纳法与分析法的运用，综合性强．