Question

设数列{a_n}为单调递增的等差数列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）若，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列，可求数列的公差，从而可得数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用累加法，可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）确定数列的通项，利用放缩、累加，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：设等差数列的公差为d，则
∵a₃，a₆，a₁₂依次成等比数列
∴，
∴1+5d=2（1+2d）
∴d=1，∴a_n=n．…．（3分）
（Ⅱ）解：．
则．…（7分）
（Ⅲ）证明：，
而．
所以．…．（13分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．