Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，
（1）若b_n=S_n-3ⁿ，求{b_n}的通项公式；
（2）若a_n+1≥a_n恒成立，求a取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，S_n+1=2S_n+3ⁿ，进而可得S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ），即b_n+1=2b_n，结合等比数列的通项公式可求
（2）由（1）可得，S_n-3ⁿ=（a-3）•2^n-1．n≥2，从而可求a_n=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，然后只要判断a_n+1-a_n≥0是否成立

解答：解：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
即b_n+1=2b_n，b₁=S₁-3=a-3，
∴b_n=（a-3）•2^n-1，
（2）由（1）可得，S_n-3ⁿ=（a-3）•2^n-1．n≥2
a_n=2•3^n-1+（a-3）•2^n-2，a_n+1-a_n=2（3ⁿ-3^n-1）+（a-3）（2^n-1-2^n-2）
=4•3^n-1+（a-3）•2^n-2≥0
a-3≥-

4•3n-1

2n-2

=-8•(

3

2

)n-1
当n≥2时，-8•(

3

2

)n-1≤-8•

3

2

=-12，∴a-3≥-12，a≥-9
而a₂-a₁=6+（a-3）-a=3＞0，∴a≥-9时，a_n+1≥a_n恒成立．

点评：本题主要考查了数列的递推公式a_n=S_n-S_n-1求解数列的通项公式，构造特殊数列（等差、等比数列），数列的单调性的应用．