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(2013•海淀区一模)设A(xA,yA),B=(xB,yB)为平面直角坐标系上的两点,其中xA,yA,xB,yB∈Z.令△x=xB-xA,△y=yB-yA,若|△x|+|△y|=3,且|△x|•|△y|≠0,则称点B为点A的“相关点”,记作:B=τ(A).已知P0(x0,y0)(x0,y0∈Z)为平面上一个定点,平面上点列{Pi}满足:Pi=τ(Pi-1),且点Pi的坐标为(xi,yi),其中i=1,2,3,…n.
(Ⅰ)请问:点P0的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上,写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由;
(Ⅱ)求证:若P0与Pn重合,n一定为偶数;
(Ⅲ)若p0(1,0),且yn=100,记T=
ni=0
xi
,求T的最大值.
分析:(I)根据绝对值的意义,可得整数△x与△Y在{±1,±2}中取值,满足绝对值的和等于3,由此可得点P0的相关点有8个,再根据圆的标准方程可得这些可能值对应的点在以P0(x0,y0)为圆心,
5
为半径的圆上;
(II)因为Pn(xn,yn)与P0(x0,y0)重合,用逐项作差再累加的方法得到等式,再将所得等式相加证出
n
i=1
[(xi-xi-1)+(yi-yi-1)]=0,结合题意(xi-xi-1)+(yi-yi-1)(i=1,2,3,…,n)为奇数,可得左边是n个奇数的和,根据整数加减法的奇偶性质即可得到n一定为偶数;
(II)令△xi=xi-xi-1,△yi=yi-yi-1(i=1,2,3,…,n),依题意可得
n
i=1
(yi-yi-1)=100.由|△xi|+|△yi|=3且|△xi|的|△yi|都是非零整数,可得当△xi=2的个数越多,且在△x1,△x2,△x3,…,△xn-1,△xn这个序列中,数字2的位置越靠前,应的T值越大,从而得到当△yi取值为1或-1的次数最多时,相应地△xi取2的次数最多,可使T的值最大.然后分n=100、n>100和50≤n≤100时三种情况加以讨论,分别根据式子中1、2的个数,结合等差数列求和公式算出T关于n的表达式,即可得到T达到最大值时,T关于n的分段函数的表达式,得到本题答案.
解答:解:(Ⅰ)∵|△x|+|△Y|=3,(|△x|•|△y|≠0)
∴|△x|=1且|△Y|=2,或|△x|=2且|△Y|=1,所以点P0的相关点有8个…(2分)
又∵(△x2+(△Y2=3,即(x1-x02+(y1-y02=5
∴这些可能值对应的点在以P0(x0,y0)为圆心,
5
为半径的圆上…(4分)
(Ⅱ)依题意Pn(xn,yn)与P0(x0,y0)重合
则xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(xn-2-xn-3)+…+(x3-x2)+(x2-x1)+(x1-x0)+x0
yn=(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+(yn-2-yn-3)+…+(y3-y2)+(y2-y1)+(y1-y0)+y0
因此,可得(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(xn-2-xn-3)+…+(x3-x2)+(x2-x1)+(x1-x0)=0,
且(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+(yn-2-yn-3)+…+(y3-y2)+(y2-y1)+(y1-y0)=0
两式相加得
[(xn-xn-1)+(yn-yn-1)]+[(xn-1-xn-2)+(yn-1-yn-2)]+…+[(x1-x0)+(y1-y0)]=0(*)
∵xi,yi都是整数,且|xi-xi-1|+|yi-yi-1|=3(i=1,2,3,…,n)
∴(xi-xi-1)+(yi-yi-1)(i=1,2,3,…,n)为奇数,于是(*)的左边就是n个奇数的和,
因为奇数个奇数的和还是奇数,所以左边不可能是奇数项,可得n一定为偶数…(8分)
(Ⅲ)令△xi=xi-xi-1,△yi=yi-yi-1,(i=1,2,3,…,n)
依题意(yn-yn-1)+(yn-1-yn-2)+…+(y2-y1)+(y1-y0)=100,
∵T=
n
i=0
xi
=x0+x1+x2+…+xn=1+(1+△x1)+(1+△x1+△x2)+…+(1+△x1+△x2+…+△xn
=n+1+n△x1+(n-1)△x2+…+2△xn-1+△xn)…(10分)
∵|△xi|+|△yi|=3,且|△xi|的|△yi|都是非零整数,
∴当△xi=2的个数越多,则T的值越大,
∵在△x1,△x2,△x3,…,△xn-1,△xn这个序列中,数字2的位置越靠前,相应的值越大
且当△yi取值为1或-1的次数最多时,△xi取2的次数才能最多,T的值才能最大.
∴①当n=100时,令所有的△yi都为1,且△xi都取2,得T=101+2(1+2+…+100)=10201.
②当n>100时,
(i)若n=2k(k≥50,k∈N+),此时△yi可取k+50个1,k-50个-1,且△xi可都取2,S(n)达到最大值
从而 T=n+1+2[n+(n-1)+…+2+1]=n2+2n+1.
(ii)若n=2k+1(k≥50,k∈N+),令△yn=2,其余的△yi中有k-49个-1,k+49个1.
相应的,对于△xi,有△xn=1,其余的都为2,可得T=n+1+2[n+(n-1)+…+2+1]-1=n2+2n
③当50≤n≤100时,令△yi=1,i≤2n-100,△yi=2,2n-100<i≤n,
则相应地取△xi=2,i≤2n-100,△yi=1,2n-100<i≤n,
可得T=n+1+2[n+(n-1)+…+(101-n)]+[(100-n)+(99-n)+…+2+1]=
1
2
(n2+205n-10098)

综上所述,得T=
1
2
(n2+205n-10098)      n∈N+且50≤n<100
(n+1)2              n≥100且n是偶数
n2+2n              n≥100且n是奇数
…(13分)
点评:本题给出平面坐标系内“相关点”的定义,讨论了T=
n
i=0
xi
的最大值问题.着重考查了绝对值的意义、等差数列的求和公式、方程的整数解和圆的标准方程等知识,属于难题.请同学们注意答过程中逐项作差再累加求和、分类讨论思想和转化化归方法的运用.
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