Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2.

(1)求证：AO⊥平面BCD；

(2)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(3)求点E到平面ACD的距离.

Answer 1

思路解析:本题综合性较强、需利用线面垂直的判定定理证明线面垂直、然后用平移法求异面直线所成的角.

方法一:(1)证明：连结OC.

∵BO=DO、AB=AD、∴AO⊥BD.∵BO=DO、BC=CD、∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=.而AC=2，∴AO²+CO²=AC².

∴∠AOC=90°，即AO⊥OC.∴BD∩OC=O.∴AO⊥平面BCD.

(2)解：取AC的中点M、连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB、OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中，EM=AB=,OE=DC=1、

∴OM是Rt△AOC斜边AC上的中线.

∴OM=AC=1.

∴cos∠OEA=.

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解：设点E到平面ACD的距离为h.

∵V_A—ACD-V_A—CDE,∴h·S_△ACD=·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=2,

∴S_△ACD=

而AO=1,S_△CDE=

∴h=

∴点E到平面ACD的距离为.

方法二：(1)同方法一.

(2)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0、0、1)、E(,0)、=(-1、0、1)、=(-1、-、0).

∴cos〈〉=

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解：设平面ACD的法向量为n=(x、y、z)、则

令y=1，得n=(-,1,)是平面ACD的一个法向量.

又=(-,0),

∴点E到平面ACD的距离h=