Question

已知y=f（x）是偶函数，定义x≥0时，f（x）=

x(3-x)，0≤x≤3 (x-3)(a-x)，x＞3

（1）求f（-2）；
（2）当x＜-3时，求f（x）的解析式；
（3）设函数y=f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）已知y=f（x）是偶函数，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；                                
（2）当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，在这两段上分别研究二次函数的区间上的最值即可．

解答： 解：（1）已知y=f（x）是偶函数，故f（-2）=f（2）=2（3-2）=2；                                
（2）当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，当x＜-3时，f（x）的解析式为f（x）=-（x+3）（a+x）
（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，
①当a≤3时，f（x）在[0，

3

2

]上单调递增，在[

3

2

，+∞)上单调递减，所以g(a)=f(

3

2

)=

9

4

，
②当3＜a≤7时，f（x）在[0，

3

2

]与[3，

3+a

2

]上单调递增，在[

3

2

，3]与[

3+a

2

，5]上单调递减，
所以此时只需比较f(

3

2

)=

9

4

与f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

的大小．
（A）当3＜a≤6时，f(

3

2

)=

9

4

≥f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g(a)=f(

3

2

)=

9

4

（B）当6＜a≤7时，f(

3

2

)=

9

4

＜f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f(

3+a

2

)=

(a-3)2

4

③当a＞7时，f（x）在[0，

3

2

]与[3，5]上单调递增，在[

3

2

，3]上单调递减，且f(

3

2

)=

9

4

＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），
综上所述，g（a）=

9 4 ，a≤6 (a-3)2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7

点评：本题主要考查函数的值域求法，综合考查了分段函数求值域的问题，特别对于二次函数求值域时要分类讨论的思想．