Question

18．设a为实数，记函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+x-a（x∈[$\sqrt{2}$，2]）的最大值为g（a），
（1）求g（a）．
（2）求g（a）的值域．

Answer 1

分析 （1）通过a的是否为0，利用二次函数的性质求解函数的最值，得到g（a）的表达式．
（2）通过函数的解析式，利用基本不等式以及函数的单调性，求出函数的值域即可．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=x，x∈$[\sqrt{2}，2]$，∴g（a）=2．
若a≠0，则f（x）=$\frac{1}{2}a$$（x+\frac{1}{a}）^{2}$$-\frac{1}{2a}-a$，x∈[$\sqrt{2}$，2]，
①当a＞0时，由x=-$\frac{1}{a}＜0$知f（x）在x∈[$\sqrt{2}$，2]上单调递增，
∴g（a）=f（2）=a+2；
②当a＜0时，
若$-\frac{1}{a}∈（0，\sqrt{2}）$，即a$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$，则g（a）=f（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$；
若$-\frac{1}{a}∈[\sqrt{2}，2）$，即$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤a≤-\frac{1}{2}$，则g（a）=f（-$\frac{1}{a}$）=$-a-\frac{1}{2a}$；
若$-\frac{1}{a}$∈（2，+∞），即$-\frac{1}{2}＜a＜0$，则g（a）=f（2）=a+2．
综上所述：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}a+2，a＞-\frac{1}{2}\\-a-\frac{1}{2a}，-\frac{\sqrt{2}}{2}≤a≤-\frac{1}{2}\\ \sqrt{2}，a＜-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.$．
（2）若$-\frac{1}{a}∈（0，\sqrt{2}）$，即a$＜-\frac{\sqrt{2}}{2}$，则g（a）=$\sqrt{2}$；
若$-\frac{1}{a}∈[\sqrt{2}，2）$，即$-\frac{\sqrt{2}}{2}≤a≤-\frac{1}{2}$，则g（a）=$-a-\frac{1}{2a}$$≥2\sqrt{（-a）（-\frac{1}{2a}）}$=$\sqrt{2}$，当且仅当a=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号；
若$-\frac{1}{a}$∈（2，+∞），即$-\frac{1}{2}＜a＜0$，则g（a）=f（2）=a+2＞$\frac{3}{2}$．
g（a）的值域：[$\sqrt{2}，+∞$）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，导函数的应用函数的最值以及二次函数的性质的应用，考查计算能力．