Question

【题目】已知函数 的导函数为f'（x）．
（Ⅰ）判断f（x）的单调性；
（Ⅱ）若关于x的方程f'（x）=m有两个实数根x1 ， x2（x1＜x2），求证： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=x+1﹣（1+lnx）=x﹣lnx（x＞0）， 令g（x）=x﹣lnx，由 （x＞0），
可得g（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）上单调递增，
∴f'（x）=g（x）≥g（1）=1＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增 …（4分）
（Ⅱ）依题意， ，相减得 ，
令 （t＞1），则有 ， ，
欲证 成立，
只需证 成立，
即证 成立，
即证 成立，
令 （x＞1），只需证 成立，
令 （x＞1），
即证x＞1时，F（x）＞0成立 ，
令 （x＞1），
则 （x＞1），
可得h（x）在 内递减，在 内递增，
∴ ，
∴F'（x）≥0，
∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴F（x）＞F（1）=0成立，故原不等式成立
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）欲证 成立，问题转化为证 成立，即证 成立，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．