Question

已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
∴2x²+bx+c=0的两根为0，5
∴
∴b=-10，c=0
∴f（x）=2x²-10x；
（2）要使对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）_max≤2-t即可
∵f（x）=2x²-10x=2，x∈[-1，1]，
∴f（x）_max=f（-1）=12
∴12≤2-t
∴t≤-10
分析：（1）根据不等式的解集与方程解之间的关系可知2x²+bx+c=0的两根为0，5，从而可求b、c的值，进而可求f（x）的解析式；
（2）要使对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，只需f（x）_max≤2-t即可，从而可求t的范围．
点评：本题重点考查函数的解析式，考查恒成立问题，解题的关键是利用好不等式的解集与方程解之间的关系，将恒成立问题转化为函数的最值加以解决．