Question

已知常数a0，向量c0，a，i1，0，经过原点O以cli为方向向量的直线与经过定点A0，a以i2lc为方向向量的直线相交于点P，其中lÎR．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE||PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：概据题设条件，首先求出点P的坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点的距离的和为定值． ∵ i=(1，0)，c=(0，a)，  ∴ c+li=(l，a)，i-2lc=(1，-2la)．因此，直线OP和AP的方程分别为ly=ax和y-a=-2lax． 消去参数l，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2，整理得 ，　　　　　　　　　　　　    ① 因为a>0，所以得： （1）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； （2）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点； （3）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点

提示：

本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力