已知定圆A:(x+1)2+y2=16,圆心为A,动圆M过点B(1,0)且和圆A相切,动圆的圆心M的轨迹记为C.
(I)求曲线C的方程;
(II)若点P(x0,y0)为曲线C上一点,求证:直线l:3x0x+4y0y-12=0与曲线C有且只有一个交点.
分析:(I)依据条件判断定圆和动圆相内切,再依据椭圆的定义写出曲线C的方程.
(II)分类讨论,当y0=0时,检验直线l:3x0x+4y0y-12=0与曲线C有且只有一个交点,当y0≠0时,把直线和椭圆方程联立方程组,利用点P(x0,y0)为曲线C上一点,求出只有一个解,并说明直线和椭圆只有唯一交点.
解答:解:(I)圆A的圆心为A(-1,0),半径r
1=4,
设动圆M的圆心M(x,y),半径为r
2,依题意有,r
2=|MB|.
由|AB|=2,可知点B在圆A内,从而圆M内切于圆A,
故|MA|=r
1-r
2,即|MA|+|MB|=4,
所以,点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,
设椭圆方程为
+=1,由2a=4,2c=2,可得a
2=4,b
2=3.
故曲线C的方程为
+=1.(6分)
(II)解:当
y0=0时,由+=1,可得x0=±2,当x
0=2,y
0=0时,直线l的方程为x
0=2,
直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0).
当x
0=-2,y
0=0时,直线l的方程为x
0=-2,
直线l与曲线C有且只有一个交点(-2,0).
当y0≠0时,直线l的方程为y=,
联立方程组:消去y,得(4y
02+3x
03)x
2-24x
0x+48-16y
02=0.①
由点P(x
0,y
0)为曲线C上一点,
得+=1.?可得4+3=12.于是方程①可以化简为x
2-2x
0x+x
02=0.解得x=x
0,
将x=x0代入方程y=可得y=y0,
故直线l与曲线C有且有一个交点P(x
0,y
0),
综上,直线l与曲线C有且只有一个交点,且交点为P(x
0,y
0).(13分)
点评:本题考查两圆的位置关系、用定义法求轨迹方程,直线和椭圆位置关系的综合应用.