Question

如图，在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D、处，问此时船距岛A有多远？

Answer 1

分析：（1）先Rt△PAB、Rt△PAC中确定AB、AC的长，进而求得，∠CAB=30°+60°=90°，最后利用勾股定理求得BC，用里程除以时间即为船的速度．
（2）利用sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB求得sin∠DCA的值，利用sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）=sin∠ACB•cos30°-cos∠ACB•sin30°求得sin∠CDA的值，进而利用正弦定理求得AD．

解答：解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60°，PA=1，∴AB=

3

．
在Rt△PAC中，∠APC=30°，
∴AC=

3

3

．
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°，
∴BC=

AC2+AB2

=

( 3 3 )2+( 3 )2

=

30

3

．
则船的航行速度为

30

3

÷

1

6

=2

30

（千米/时）．
（2）在△ACD、中，∠DAC=90°-60°=30°，
sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB=

AB

BC

=

3

30 3

=

3

10

10

，
sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）
=sin∠ACB•cos30°-cos∠ACB•sin30°
=

3

10

10

•

3

2

-

1

2

•

1-( 3 10 3 ) 2

=

(3 3 -1) 10

20

．

由正弦定理得

AD

sin∠DCA

=

AC

sin∠CDA

．
∴AD=

AC•sin∠DCA

sin∠CDA

=

3 3 ． 3 10 10

(3 3 -1) 10 20

=

9+ 3

13

．
故此时船距岛A有

9+ 3

13

千米．

点评：本题组要考查正弦定理和余弦定理的灵活运用．考查考生运用数学知识解决实际问题的能力．