Question

在抛物线y²＝4x上恒有两点关于直线l：y＝kx＋3对称，求k的范围．

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：设B,C关于直线对称，根据直线垂直斜率之积等于，可知直线AB的斜率为，但这样就会有一个弊端，也就是当直线l斜率为0时，直线AB的斜率就不存在了，所以这时就需要讨论。为了省去讨论的麻烦可直接将直线AB方程设为，设出B,C坐标可得出中点M的坐标，由对称性可知中点M恒在直线l上，代入方程得到方程，用k表示出m，还是有对称性可知中点M恒在抛物线内部，得到不等式，代入代入即可得出k的范围。

试题解析：设B,C关于直线对称，直线BC方程为，代入y²＝4x，得。设，B,C中点，所以，因为在直线上，所以，整理得，因为在抛物线y²＝4x内部，则，把m代入化简得，即，解得

考点：点关于直线的对称点问题，直线和圆锥曲线的位置关系问题