Question

（2005•东城区一模）一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试．
（1）求前两次取出的都是二等品的概率；
（2）求第二次取出的是二等品的概率；
（3）用随机变量ξ表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（1）四件产品逐一取出排成一列共有A₄⁴种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有C₂¹×C₂¹种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；
（2）四件产品逐一取出排成一列共有A₄⁴种方法，第二次取出的产品是二等品的共有C₂¹×A₃³种方法，然后利用古典概型的概率公式解之即可；
（3）ξ的所有可能取值为2，3，4，利用古典概型的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）四件产品逐一取出排成一列共有A₄⁴种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有C₂¹×C₂¹种方法，
∴前两次取出的产品都是二等品的概率为

C 1 2 × C 1 2

A 4 4

=

1

6

；…（4分）
（2）四件产品逐一取出排成一列共有A₄⁴种方法，第二次取出的产品是二等品的共有C₂¹×A₃³种方法，
∴第二次取出的产品是二等品的概率为

C 1 2 × A 3 3

A 4 4

=

1

2

；…（8分）
（3）ξ的所有可能取值为2，3，4，
P（ξ=2）=

C 1 2 × C 1 2

A 4 4

=

1

6

，P（ξ=3）

C 1 2 × C 1 2 × C 1 2

A 4 4

=

2

6

，P（ξ=4）=

3

6

则ξ的分布列为

ξ	2	3	4
P	1 6	2 6	3 6

∴ξ的概率分布为∴Eξ=2×

1

6

+3×

2

6

+4×

3

6

=

10

3

．…（13分）

点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量的期望和分布列，同时考查了计算能力，属于中档题．