【错解分析】∵2te
1+7e
2与e
1+te
2的夹角为钝角,
∴(2te
1+7e
2)·(e
1+te
2)<0,
∴2t
2+15t+7<0,解之得:-7<t<-
,
∴t的范围为(-7,-
).
【正解】∵2te
1+7e
2与e
1+te
2的夹角为钝角,
∴(2te
1+7e
2)·(e
1+te
2)<0且2te
1+7e
2≠λ(e
1+te
2)(λ<0).
∵(2te
1+7e
2)·(e
1+te
2)<0得2t
2+15t+7<0,
∴-7<t<-
.
若2te
1+7e
2=λ(e
1+te
2)(λ<0),
∴(2t-λ) e
1+(7-tλ) e
2=0.
∴
,即t=-
,
∴t的取值范围为:-7<t<-
且t≠-
.
【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角?a·b>0且a, b不同向;②θ为直角?a·b=0;③θ为钝角?a·b<0且a·b不反向.
2te
1+7e
2与e
1+te
2的夹角为钝角?(2te
1+7e
2)·(e
1+te
2)<0.