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设两个向量e1,e2,满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为.若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的范围.
-7<t<-且t≠-

【错解分析】∵2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
∴2t2+15t+7<0,解之得:-7<t<-
∴t的范围为(-7,-).
【正解】∵2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,
∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0且2te1+7e2≠λ(e1+te2)(λ<0).
∵(2te1+7e2)·(e1+te2)<0得2t2+15t+7<0,
∴-7<t<-.
若2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0),
∴(2t-λ) e1+(7-tλ) e2=0.
,即t=-
∴t的取值范围为:-7<t<-且t≠-.
【点评】本题错误的关键是没有把握准向量夹角与向量数量积的等价关系.一般地,向量a,b为非零向量,a与b的夹角为θ,则①θ为锐角?a·b>0且a, b不同向;②θ为直角?a·b=0;③θ为钝角?a·b<0且a·b不反向.
2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角?(2te1+7e2)·(e1+te2)<0.
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