Question

（2013•徐州一模）如图，已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A（x₁，y₁）（y₁＞0），B（x₂，y₂）两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
（1）若

TA

•

TB

=1，求直线l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得F（1，0），T（-1，0），当直线l与x轴垂直时，经过检验不满足条件．设直线l的方程为y-0=k（x-1），代入抛物线C的方程，利用根与系数的关系求得 x₁+x₂=

2k2+4

k2

，且x₁•x₂=1，且 y₁y₂=-4．结合

TA

•

TB

=1求得k的值．
（2）根据 y₁＞0，tan∠ATF=

y1-0

x1+1

=

y1

y12 4 +1

=

1

y1 4 + 1 y1

，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，从而求得∠ATF 的最大值．

解答：解：（1）由题意可得F（1，0），T（-1，0），当直线l与x轴垂直时，A（1，2），B（1，-2），此时，

TA

•

TB

=0，
这与

TA

•

TB

=1矛盾．
故直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为 y-0=k（x-1），代入抛物线C：y²=4x的方程化简可得 k² x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，且x₁•x₂=1…①．
∴(y1y2)2=16x₁•x₂=16，∴y₁y₂=-4…②．
由

TA

•

TB

=1可得 （x₁+1）（x₂+1）+y₁•y₂=1．
把①②代入可得 k²=4，∴k=±2．
（2）∵y₁＞0，tan∠ATF=

y1-0

x1+1

=

y1

y12 4 +1

=

1

y1 4 + 1 y1

≤1，当且仅当

y1

4

=

1

y1

，即 y₁=2时，取等号，
故tan∠ATF 的最大值为1，故∠ATF的最大值为

π

4

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，抛物线的定义和性质，一元二次方程根与系数的关系以及基本不等式的应用，属于中档题．