Question

已知向量

a

=（x，1），

b

=（2，3x），则

a • b

| a |2+| b |2

的最大值是

2

4

．

Answer 1

分析：由题意和向量的数量积求出

a • b

| a |2+| b |2

的表达式，再对x分类，分别求出x≠0和x＜0时

a • b

| a |2+| b |2

的值或范围；当x＞0时对式子化简后，利用基本不等式得2x+

1

x

≥2

2

，代入后求出

a • b

| a |2+| b |2

的最大值，即得答案．

解答：解：∵

a

=（x，1），

b

=（2，3x），
∴

a • b

| a |2+| b |2

=

2x+3x

x2+1+4+9x2

=

5x

10x2+5

=

x

2x2+1

，
当x=0时，

a • b

| a |2+| b |2

=0；
当x≠0时，①x＜0时，

a • b

| a |2+| b |2

＜0，
②x＞0时，

a • b

| a |2+| b |2

=

x

2x2+1

=

1

2x+ 1 x

，
∵x＞0，∴2x+

1

x

≥2

2

当且仅当2x=

1

x

时取等号，
∴

1

2x+ 1 x

≤

1

2 2

=

2

4

，
综上得，

a • b

| a |2+| b |2

的最大值是

2

4

，
故答案为：

2

4

．

点评：本题是向量和函数结合的题型，考查了向量的数量积运算，基本不等式求函数的最值，以及分类讨论思想．