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已知的两个顶点的坐标分别是,且所在直线的斜率之积等于

1)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;

2)当时,过点的直线交曲线两点,设点关于轴的对称点为(不重合), 试问:直线轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.

 

1详见解析;2.

【解析】

试题分析:1)设出顶点C的坐标,由ACBC所在直线的斜率之积等于mm≠0)列式整理得到顶点C的轨迹E的方程,然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线;
2)把代入E得轨迹方程,由题意设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出MN两点的横坐标的和与积,由两点式写出直线MQ的方程,取y=0后求出x,结合根与系数关系可求得x=2,则得到直线MQx轴的交点是定点,并求出定点..

试题解析:1由题知:

化简得: 2

时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;

时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;

时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;

时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点; 6

2

依题直线的斜率存在且不为零,则可设:

代入整理得

9

又因为不重合,则

的方程为

故直线过定点. 14

解二:设

依题直线的斜率存在且不为零,可设:

代入整理得:

, 9

的方程为

直线过定点 14

考点:1.椭圆的简单性质;2.与直线有关的动点轨迹方程.

 

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②若b2ac,则该双曲线是黄金双曲线;

③如图,若∠F1B1A290°,则该双曲线是黄金双曲线;

④如图,若∠MON90°,则该双曲线是黄金双曲线.

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