已知△的两个顶点的坐标分别是,,且所在直线的斜率之积等于.
(1)求顶点的轨迹的方程,并判断轨迹为何种圆锥曲线;
(2)当时,过点的直线交曲线于两点,设点关于轴的对称点为(不重合), 试问:直线与轴的交点是否是定点?若是,求出定点,若不是,请说明理由.
(1)详见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)设出顶点C的坐标,由AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)列式整理得到顶点C的轨迹E的方程,然后分m的不同取值范围判断轨迹E为何种圆锥曲线;
(2)把代入E得轨迹方程,由题意设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出M,N两点的横坐标的和与积,由两点式写出直线MQ的方程,取y=0后求出x,结合根与系数关系可求得x=2,则得到直线MQ与x轴的交点是定点,并求出定点..
试题解析:(1)由题知:
化简得: 2分
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
当时 轨迹表示以为圆心半径是1的圆,且除去两点;
当时 轨迹表示焦点在轴上的椭圆,且除去两点;
当时 轨迹表示焦点在轴上的双曲线,且除去两点; 6分
(2)设
依题直线的斜率存在且不为零,则可设:,
代入整理得
,, 9分
又因为不重合,则
的方程为 令,
得
故直线过定点. 14分
解二:设
依题直线的斜率存在且不为零,可设:
代入整理得:
,, 9分
的方程为 令,
得
直线过定点 14分
考点:1.椭圆的简单性质;2.与直线有关的动点轨迹方程.
科目:高中数学 来源:2015届湖北部分重点中学高二上学期期末考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
我们把离心率为e=的双曲线(a>0,b>0)称为黄金双曲线.如图,是双曲线的实轴顶点,是虚轴的顶点,是左右焦点,在双曲线上且过右焦点,并且轴,给出以下几个说法:
①双曲线x2-=1是黄金双曲线;
②若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;
③如图,若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线;
④如图,若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线.
其中正确的是( )
A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④
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科目:高中数学 来源:2015届湖北荆门市高二上学期期末质量检测理数学试卷(解析版) 题型:填空题
多选题是标准化考试的一种题型,一般是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确的答案.在一次考试中有5道多选题,某同学一道都不会,他随机的猜测,则他答对题数的期望值为 .
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科目:高中数学 来源:2015届湖北荆门市高二上学期期末质量检测理数学试卷(解析版) 题型:选择题
某运动会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作,要求每项工作至少有一人参加,则不同的派给方案共有
A.150种 B.180种 C.240种 D.360种
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科目:高中数学 来源:2015届湖北荆门市高二上学期期末质量检测文数学试卷(解析版) 题型:填空题
设分别是双曲线C:的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为原点),且,则双曲线的离心率为 .
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科目:高中数学 来源:2015届湖北荆门市高二上学期期末质量检测文数学试卷(解析版) 题型:选择题
在整数集中,被除所得余数为的所有整数组成一个“类”,记为,即,.给出如下四个结论:
①;
②;
③;
④当且仅当“”整数属于同一“类”.
其中,正确结论的个数为.
A. B. C. D.
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科目:高中数学 来源:2015届湖北孝感高级中学高二上学期期末考试理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-6,0)和C(6,0),若顶点B在双曲线-=1的左支上,则=________.
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