Question

在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PBA的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且．(1)求证：平面GEF⊥平面PBC；(2)求证：GE是PG，BC的公垂线．

Answer 1

答案：
解析：

证 　　(1)∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC．连BG并延长交PA于M．∵G是△PBA的重心，∴∴，故GF∥PA．因此GF⊥平面PBC，∴平面GFE⊥平面PBC． 　　(2)取EC的中点D，连FD，∵，∴FD∥PC，由PC＝PB可得FD＝FB，E是BD的中点，∴EF⊥BC，∵GF⊥平面PBC，∴EF是GE在平面PBC内的射影，于是GE⊥BC．取FB的中点N，连GN，∵G是△PAB的重心，设PG交AB于Q，于是，∴GN∥QB．∵QB⊥PQ，于是NG⊥PQ，NE∥PC，PC⊥平面PAB，∴NE⊥平面PAB，NG是GE在平面PAB内的射影，∴GE⊥PQ．因此，GE是PG和BC的公垂线．