Question

如图，在棱长为2的正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB₁的中点．
（1）求证：BD₁⊥B₁C；
（2）求证：BD₁⊥平面MNP．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）利用正方体的性质得到AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊥BC₁，只要判断B₁C⊥平面ABC₁D₁即可；
（2）连接BC₁，欲证BD₁⊥平面MNP，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD₁与平面MNP内两相交直线垂直，而BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN，MN∩PM=M，满足定理条件；

解答： 证明：（1）连接BC_1，
∵几何体为正方体，∴AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C⊥BC₁
∴AB⊥B₁C，
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁即BD₁⊥B₁C；
（2）由正方体的性质得BC₁是BD₁在平面BCC₁B₁内的射影，且B₁C⊥BC₁，
∴BD₁⊥B₁C，
∵M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB₁的中点．
∴B₁C∥PM，∴BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN
又MN∩PM=M，
∴BD₁⊥平面MNP．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．