Question

已知数列{a_n}，其中a₁=1，a₂=3，2a_n=a_n+1+a_n-1，（n≥2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{lnS_n}的前n项和为U_n．
（Ⅰ）求U_n；
（Ⅱ）设Fn(x)=

eUN

2n(n!)2

x2n，Tn(x)=

n

i=1

F

1 k

(x)，（其中F_k¹（x）为F_k（x）的导函数），计算

lim

n→∞

Tn(x)

Tn+1(x)

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由递推关系知数列为等差数列，有等差数列前n项和公式求得Sn，进而求对数得解．
（Ⅱ）利用数列{lnS_n}的前n项和U_n，求得Fn（x），再利用导数公式求得F_n¹（x），进而求和Tn（x），最后求极限得解．

解答：解：（Ⅰ）由题意，{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列
前n项和Sn=

1+1+2(n-1)

2

•n=n2，
lnS_n=lnn²=2lnnU_n=2（ln1+ln2+…+lnn）=2ln（n!）
（Ⅱ）Fn(x)=

eUn

2n(n!)2

•x2n=

(n!)2

2n(n!)2

•x2n=

x2n

2n

F_n′（x）=x^2n-1Tn(x)=

n

k=1

Fk′(x)=

n

k=1

x2k-1=

x(1-x2n) 1-x2 (0＜x＜1) n (x=1) x(1-x2n) 1-x2 (x＞1)

lim

n→∞

Tn(x)

Tn+1(x)

=

lim n→∞ 1-x2n 1-x2n+2 =1 (0＜x＜1) lim n→∞ n n+1 =1 (x=1) lim n→∞ ( 1 x2n )-1 ( 1 x2n )-x2 (x＞1)

点评：本题主要考查等差数列的基础知识，以及对数运算、导数运算和极限运算的能力，是一道综合性较强的题目：注意：
（1）等差数列的判断方法要熟练．
（2）正确求导，求极限是关键．