Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=.

(1)求证：AO⊥平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；

（3）求点E到平面ACD的距离.

Answer 1

(1)证明：连结OC.?

∵BO=DO，AB=AD，?

∴AO⊥BD.?

∵BO=DO,BC=CD,?

∴CD⊥BD.?

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=3，

而AC=2，?

∴AO²+CO²=AC².?

∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.?

∵BD∩OC=O,?

∴AO⊥平面BCD.

(2)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），C（0，，0），A（0，0，1），E（，，0），=（-1，0，1），=（-1，-，0）.?

∴cos〈,〉==,?

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(3)解法一：设平面ACD的法向量n=(x,y,z),则?

      

∴?

令y=1，得n=(-,1,)是平面ACD的一个法向量，?

又=（-，，0），∴点E到平面ACD的距离?

h===.

解法二：设点E到平面ACD的距离为h.?

∵??

∴.?

在△ACD中，CA=CD=2，AD=，?

∴S_△ACD=×2×=.

而AO=1，S_△CDE=××2²=,?

∴h===.

∴点E到平面ACD的距离为.

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.