Question

在某学校组织的一次篮球总投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第3次．某同学在A处的命中率q₁为0.25，在B处的命中率为q₂．该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮的训练结束后所得的总分，其分布列为

ξ	0	2	3	4	5
P	0.03	P1	P2	P3	P4

（1）求q₂的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

Answer 1

分析：（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质，能求出q₂．
（2）分别求出p₁=p（ξ=2），p₂=p（ξ=3），p₃=p（ξ=4），p₄=p（ξ=5），由此能求出Eξ．
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5），P（D）=q22+

C

1 2

q2(1-q2)，由此能求出结果．

解答：解：（1）由题设知，“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，
由对立事件和相互独立事件性质，
知p（ξ=0）=（1-q₁）（1-q₂）²=0.03，
∵q₁=0.25，
∴解得q₂=0.8．
（2）根据题意p₁=p（ξ=2）=（1-q₁）•

C

1 2

（1-q₂）q₂=0.75×2×0.2×0.8=0.24，
p₂=p（ξ=3）=q1(1-q2)2=0.25×（1-0.8）²=0.01，
p₃=p（ξ=4）=（1-q₁）q22=0.75×0.8²=0.48，
p₄=p（ξ=5）=q₁q₂+q₁（1-q₂）q₂=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24，
因此Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63．
（3）用C表示事件“该同学选择第一次在A处投，以后都在B处投，得分超过3分”，
用D表示事件“该同学选择都在B处投，得分超过3分”，
则P（C）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=P₃+P₄=0.48+0.24=0.72，
P（D）=q22+

C

1 2

q2(1-q2)=0.8²+2×0.8×0.2×0.8=0.896，
故P（D）＞P（C）．
即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过3分的概率．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．