Question

（2012•蓝山县模拟）直线l：x-y=0与椭圆

x2

2

+y²=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为

2

．

Answer 1

分析：设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高，只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，从而可得最大面积．

解答：解：直线l：x-y=0与椭圆

x2

2

+y²=1联立，消元可得

3x2

2

=1，∴x=±

6

3

∴不妨设A（

6

3

，

6

3

），B（-

6

3

，-

6

3

）
∴|AB|=

4 3

3

设过C点且与AB平行的直线L方程为 y=x+c，L与AB距离就是C点到AB的距离，也就是三角形ABC的BC边上的高．
只要L与椭圆相切，就可得L与AB最大距离，可得最大面积． 
y=x+c代入椭圆

x2

2

+y²=1，消元可得3y²-2cy+c²-2=0
判别式△=4c²-12（c²-2）=0，∴c=±

3

∴L与AB最大距离为

3

2

=

6

2

∴△ABC最大面积：

1

2

×

4 3

3

×

6

2

=

2

故答案为：

2

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是求出L与AB最大距离．