Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直BE∥CF ,∠BCF=∠CEF=90°,AD=

（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？

Answer 1

方法一：

    （Ⅰ）证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形。

又ABCD为矩形，

所以AD∥EG,从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG。

因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF。

（Ⅱ）解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH。

          由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得

         AB⊥平面BEFC，

      从而AH⊥EF，

      所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角。

      在Rt△EFG中，因为EG=AD=

      又因为CE⊥EF，所以CF=4，

      从而       BE=CG=3。

     于是BH=BE?sin∠BEH =

     因为AB=BH?tan∠AHB,

     所以当AB为时，二面角A-EF-G的大小为60°.

方法二：

如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.

设AB=a,BE=b,CF=c,

则C（0，0，0），A（

（Ⅰ）证明：

      所以

      所以CB⊥平面ABE。

      因为GB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF

故AE∥平面DCF

（II）解：因为，

所以，从而

解得b＝3，c＝4．

所以．

设与平面AEF垂直，

则      ，

解得    ．

又因为BA⊥平面BEFC，，

所以，

得到   ．

所以当AB为时，二面角A－EF－C的大小为60°．