Question

已知函数，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

解：（1）y=cos²x+sinxcosx+1
=（2cos²x-1）++（2sinxcosx）+1
=cos2x+sin2x+=（cos2x•sin+sin2x•cos）+
=sin（2x+）+（6分）
y取得最大值必须且只需
2x+=+2kπ，k∈Z，
即x=+kπ，k∈Z．
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
{x|x=+kπ，k∈Z}（8分）
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
①把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin（x+）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+）的图象；
④把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图象；综上得到函数y=cos²x+sinxcosx+1的图象．（12分）
分析：（1）利用二倍角公式和两角和的正弦函数化简函数为y=sin（2x+）+，借助正弦函数的最大值，求出函数y取得最大值时，自变量x的集合；
（2）由y=sinx（x∈R）的图象，按照先φ，向左平移，把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），最后把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x+）+的图象；
点评：本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．注意函数图象的变换的顺序：→φ→ω→A→b的过程．