Question

如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，在直观图中，是的中点，侧(左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2)若是的中点，求证：∥平面；

(3)求证：平面⊥平面.

 

Answer 1

【答案】

(1)4 (2)主要证明∥ (3)主要证明平面

【解析】

试题分析：解:(1)由题意可知，四棱锥中，

平面平面，，

所以，平面，

又，，

则四棱锥的体积为

.

(2)连接，则∥，∥，

又，所以四边形为平行四边形，∴∥，

∵平面，平面，

所以，∥平面.

(3)∵，是的中点，∴⊥，

又在直三棱柱中可知，平面平面，

∴平面，

由(2)知，∥，∴平面，

又平面，所以，平面平面.

考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是由面面垂直的性质定理可得AB⊥平面ACDE，（2）的关键是分析出四边形ANME为平行四边形，即AN∥EM，（3）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化．