Question

已知函数．
（1）若，求函数f（x）的最值；
（2）记锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=0，b+c=4，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函数=sinxcosx+cos²x-sin²x+sinxcosx
=sin2x+cos2x=2sin（2x+）．
∵，∴≤2x+≤，∴≤sin（2x+）≤1，
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得 sin（2A+）=0，∴A=．
∵b+c=4≥2，当且仅当b=c时取等号，故 bc≤4，即 bc的最大值为 4．
故△ABC面积S=bc•sinA=bc≤，故△ABC面积的最大值为 ．
分析：（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x+），由 ，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．
（2）锐角△ABC中，由f（A）=0 可得A=．利用基本不等式求得 bc≤4，即 bc的最大值为4，由此求得△ABC的面积S=bc•sinA 的最大值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，以及基本不等式的应用，属于中档题．