Question

19．（1）利用辗转相除法求8251和6105的最大公约数
（2）利用秦九韶算法求多项式f（x）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1在x=3时的值．（两问都按算法写步骤方可得分）

Answer 1

分析 （1）用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数；
（2）先将f（x）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1变形，再逐一计算，可得答案．

解答 解：（1）8251=6105×1+2146
6105=2146×2+1813
2146=1813×1+333
333=148×2+37
148=37×4
所以8251与6105的最大公约数就是37   （6分）
（2）f（x）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1=（（（（x+1）x+1）x+1）x+1）x+1
当x=3时，
v₀=3，
v₁=4，
v₂=13，
v₃=40，
v₄=121，
v₅=364，（12分）

点评 本题考查用辗转相除法求两个数的最大公约数，秦九韶算法，本题（2）解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以．