Question

正四棱锥S-ABCD中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系是（ ）
A．α＜β＜γ＜θ
B．α＜β＜θ＜γ
C．θ＜α＜γ＜β
D．α＜γ＜β＜θ

Answer 1

【答案】分析：在正四棱锥S-ABCD，找出空间角的平面角，考虑通过三角函数的值大小关系得出角的大小关系．
解答：解：如图，正四棱锥S-ABCD，设AB=2，高VO=h．H为BC中点．
在RT△VOB中，tanα=tan∠VBO==，
在RT△VOh中，tanβ=tan∠VHO==h，
在RT△VHC中，tanγ=tan∠VCH==，
∴0＜tanα＜tanβ＜tanγ．∴α＜β＜γ＜．
过点D作DE⊥VA于E，连接ED，由于△VBA≌△VDA，∴ED⊥VA，∠BED为相邻两侧面所成的二面角θ．
S_△VAB=VA×BE=×BC×VH，即×BE=×2×，BE²=，DE²+BE²=2DE²＜BD²，∴∠BED为钝角，
∴α＜β＜γ＜θ．
故选A．
点评：本题考查了正四棱锥的性质，空间角的定义及度量．三角函数的单调性．考查了空间想象能力、转化、计算能力．