Question

正四棱柱ABCD-ABC₁D₁（底面是正方形，侧棱与底面垂直）底面边长为1，高为2，M、N、P分别为线段AB、CD、C₁D₁的中点．
（1）求证：MC₁∥平面ANPA₁；
（2）求异面直线CD与MC₁所成角的大小的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接PA，先证明四边形AMC₁P是平行四边形，由此能够证明MC₁∥平面ANPA₁．
（2）由CD∥AB，知∠C₁MB或其补角为导面直线CD与MC₁所成的角．由此能求出异面直线CD与MC₁所成角的正切值．

解答：解：（1）连接PA，
∵正四棱柱ABCD-ABC₁D₁中，M、P分别为线段AB、C₁D₁的中点，
∴AM

∥

.

PC₁，
∴四边形AMC₁P是平行四边形，
∴MC₁∥AP，
∵AP?平面ANPA₁，MC₁?平面ANPA₁，
∴MC₁∥平面ANPA₁．
（2）∵CD∥AB，所以∠C₁MB或其补角为导面直线CD与MC₁所成的角．
连接BC₁，∵AB⊥平面BCC₁B，∴AB⊥BC₁，
在Rt△MBC₁中，BC1=

4+1

=

5

，MB=

1

2

，
∴tan∠C1MB=

5

1 2

=2

5

，
故异面直线CD与MC₁所成角的大小的正切值为2

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与几何体的线段长度关系，进而解决线面平行与垂直问题，异面直线所成角等问题．