Question

已知向量

a

=(

3

2

，-

1

2

)，

b

=(1，

3

)．
（Ⅰ）求证

a

⊥

b

；
（Ⅱ）如果对任意的s∈R⁺，使

m

=

a

+(1+2s)

b

与

n

=-k

a

+(1+

1

s

)

b

垂直，求实数k的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用数量积运算，只要证明

a

•

b

=0即可．
（II）由

m

⊥

n

?

m

•

n

=0，再利用基本不等式即可得出．

解答：（I）证明：∵

a

•

b

=(

3

2

，-

1

2

)•(1，

3

)=

3

2

-

3

2

=0．
∴

a

⊥

b

．
（II）解：∵

a

•

b

=0，|

a

|=

( 3 2 )2+(- 1 2 )2

=1，|

b

|=

12+( 3 )2

=2．

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=[

a

+(1+2s)

b

]•[-k

a

+(1+

1

s

)

b

]
=-k

a

2+(1+2s)(1+

1

s

)

b

2
=-k+2(3+2s+

1

s

)=0，
∴k=6+2(2s+

1

s

)．
∵s＞0，
∴k≥6+2×2

2s• 1 s

=6+4

2

．当且仅当s=

2

2

时取等号．
∴实数k的最小值的最小值为6+4

2

．

点评：本题考查了数量积运算法则、向量

m

⊥

n

?

m

•

n

=0、基本不等式，属于中档题．