Question

品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分， 现设n=4，分别以a₁，a₂，a₃，a₄表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述，
(Ⅰ)写出X的可能值集合；
(Ⅱ)假设a₁，a₂，a₃，a₄等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，
(ⅰ)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立)；
(ⅱ)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)X的可能值集合为{0，2，4，6，8}，
在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a₂，a₄中的奇数个数等于a₁，a₃中的偶数个数，
因此|1-a₁|+|3-a₃|与|2-a₂|+|4-a₄|的奇偶性相同，
从而X=(|1-a₁|+|3-a₃|)+(|2-a₂|+|4-a₄|)必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8。
容易举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．
(Ⅱ)可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，
计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到
；
 (Ⅲ)(ⅰ)首先P(X≤2)=P(X=0)+P(X=2)=，将三轮测试都有X≤2的概率记做p，
由上述结果和独立性假设，得；
(ⅱ)由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测。