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选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
ab
14
,若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=
3
-1
,属于特征值5的一个特征向量为α2=
1
1
.求矩阵A,并写出A的逆矩阵.
分析:根据特征值的定义可知Aα=λα,利用待定系数法建立等式关系,解方程组即可求得矩阵A,再利用公式求其逆矩阵.
解答:解:由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=[
3
-1
],即3a-b=3;3分
由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=11,可得
ab
14
1
1
=5
1
1
,即a+b=5,6分
解得
a=2
b=3
即A=
23
14
,7分
A的逆矩阵是
4
5
-
3
5
-
1
5
2
5
10分
点评:本题主要考查了二阶矩阵,以及特征值与特征向量的计算,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)选修4-2:矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为e1=
1
0
e2=
0
1

(I)求矩阵A;
(II)求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
为参数),C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t
为参数)
(I)若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),分别得到曲线C′1和C′2,求出曲线C′1和C′2的普通方程;
(II)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R,
(I)求关于x的不等式f(x)≤5的解集;
(II)若g(x)=
1
f(x)+m
的定义域为R,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分
(1)选修4-2:矩阵与变换
变换T是将平面上每个点M(x,y)的横坐标乘2,纵坐标乘4,变到点M′(2x,4y).
(Ⅰ)求变换T的矩阵;
(Ⅱ)圆C:x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形?
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若曲线C1的极坐标方程为:5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0,直线?的参数方程为:
x=1-
3
t
y=t
(t为参数).
(Ⅰ)求曲线C1的直角坐标方程;
(Ⅱ)直线?上有一定点P(1,0),曲线C1与?交于M,N两点,求|PM|.|PN|的值.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+
1
4
b2+
1
9
c2
+m-1=0.
(Ⅰ)求证:a2+
1
4
b2+
1
9
c2
(a+b+c)2
14

(Ⅱ)求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年福建省高三第八次月考理科数学试卷 题型:解答题

本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分

(1)(本小题满分7分)选修4-2:矩阵与变换

变换是将平面上每个点的横坐标乘,纵坐标乘,变到点.

(Ⅰ)求变换的矩阵;

(Ⅱ)圆在变换的作用下变成了什么图形?

(2)(本小题满分7分)选修4-4:坐标系与参数方程

已知极点与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若曲线的极坐标方程为:,直线的参数方程为:为参数).

(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)直线上有一定点,曲线交于M,N两点,求的值.

(3)(本小题满分7分)选修4-5:不等式选讲

 已知为实数,且

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求实数m的取值范围.

 

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省福州三中高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

(1)选修4-2:矩阵与变换
若矩阵A有特征值λ1=2,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为
(I)求矩阵A;
(II)求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为为参数),C2的参数方程为为参数)
(I)若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半(纵坐标不变),分别得到曲线C′1和C′2,求出曲线C′1和C′2的普通方程;
(II)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R,
(I)求关于x的不等式f(x)≤5的解集;
(II)若的定义域为R,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:福建省龙岩一中2011-2012学年高三下学期第八次月考试卷数学(理) 题型:解答题

 本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题做答,满分14分

(1)选修4-2:矩阵与变换

变换是将平面上每个点的横坐标乘,纵坐标乘,变到点.

(Ⅰ)求变换的矩阵;

(Ⅱ)圆在变换的作用下变成了什么图形?

(2)选修4-4:坐标系与参数方程

已知极点与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.若曲线的极坐标方程为:,直线的参数方程为:为参数).

(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;

(Ⅱ)直线上有一定点,曲线交于M,N两点,求的值.

(3)选修4-5:不等式选讲

 已知为实数,且

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求实数m的取值范围.

 

 

 

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