Question

（2012•四川）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED则sin∠CED=（　　）

• A．

  3 10

  10

• B．

  10

  10

• C．

  5

  10

• D．

  5

  15

Answer 1

分析：法一：由题意，可得∠CED=∠AED-∠AEC，根据图象可得tan∠AED=1，tan∠AEC=

1

2

，从而有tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）=

tan∠AED-tan∠AEC

1+tan∠AEDtan∠AEC

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

，再由三角函数的定义即可求出sin∠CED选出正确选项
法二：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；
法三：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦

解答：解：由题设及图知∠CED=∠AED-∠AEC，
又正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE=1
∴tan∠AED=1，tan∠AEC=

1

2

∴tan∠CED=tan（∠AED-∠AEC）=

tan∠AED-tan∠AEC

1+tan∠AEDtan∠AEC

=

1- 1 2

1+ 1 2

=

1

3

由图知，可依EC所在直线为X轴，以垂直于EC的线向上的方向为Y轴建立坐标系，又∠CED锐角，由三角函数的定义知，∠CED终边一点的坐标为（3，1），此点到原点的距离是

10

故sin∠CED=

1

10

=

10

10

故选B
法二：利用余弦定理
在△CED中，根据图形可求得ED=

2

，CE=

5

，
由余弦定理得cos∠CED=

5+2-1

2× 2 × 5

=

3 10

10

，
∴sin∠CED=

1- 9 10

=

10

10

故选B
法三：在△CED中，根据图形可求得ED=

2

，CE=

5

，∠CDE=135°
由正弦定理得

CE

sin∠CDE

=

CD

sin∠CED

，即sin∠CED=

CDsin∠CDE

CE

=

sin135°

5

=

10

10

故选B

点评：本题考查任意角三角函数的定义及两角各与差的正切函数，解题的关键是根据图象求出tan∠CED，本题综合考查了正切的差角公式及三角函数的定义，综合性强，知识性强，题后要注意总结做题的规律